MECÂNICA GRACELI GENER. - QUÂNTICA DIMENSIONAL TENSORIAL RELATIVISTA DE CAMPOS [742]

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

[

$\psi ^{*}$

$TeoriaInteraçãomediadorMagnitude relativaComportamentoFaixaCromodinâmicaForça nuclear forteGlúon10411/r71,4 × 10-15 mEletrodinâmicaForça eletromagnéticaFóton10391/r2infinitoFlavordinâmicaForça nuclear fracaBósons W e Z10291/r5 até 1/r710-18 mGeometrodinâmicaForça gravitacionalgráviton101/r2infinito$

Teoria	Interação	mediador	Magnitude relativa	Comportamento	Faixa
Cromodinâmica	Força nuclear forte	Glúon	1041	1/r7	1,4 × 10-15 m
Eletrodinâmica	Força eletromagnética	Fóton	1039	1/r2	infinito
Flavordinâmica	Força nuclear fraca	Bósons W e Z	1029	1/r5 até 1/r7	10-18 m
Geometrodinâmica	Força gravitacional	gráviton	10	1/r2	infinito

$G* = OPERADOR DE DIMENSÕES DE GRACELI.$

DIMENSÕES DE GRACELI SÃO TODA FORMA DE TENSORES, ESTRUTURAS, ENERGIAS, ACOPLAMENTOS, , INTERAÇÕES E CAMPOS, DISTRIBUIÇÕES ELETRÔNICAS, ESTADOS FÍSICOS, ESTADOS QUÂNTICOS, ESTADOS FÍSICOS DE ENERGIAS DE GRACELI, E OUTROS.

Em uma teoria relativística da física, um escalar de Lorentz é uma expressão, formada a partir de itens da teoria, que resulta em um escalar, invariante sob qualquer transformação de Lorentz. Um escalar de Lorentz pode ser gerado a partir, por exemplo, do produto escalar de vetores ou da contração de tensores da teoria. Enquanto os componentes de vetores e tensores são, em geral, alterados sob transformações de Lorentz, os escalares de Lorentz permanecem inalterados.

Um escalar de Lorentz nem sempre é imediatamente visto como um escalar invariante no sentido matemático, mas o valor escalar resultante é invariante sob qualquer transformação de base aplicada ao espaço vetorial, no qual se baseia a teoria considerada. Um escalar de Lorentz simples no espaço-tempo de Minkowski é a distância no espaço-tempo ("comprimento" de sua diferença) de dois eventos fixos no espaço-tempo. Enquanto os quadrivetores de "posição" dos eventos mudam entre diferentes referenciais inerciais, sua distância no espaço-tempo permanece invariante sob a transformação de Lorentz correspondente. Outros exemplos de escalares de Lorentz são o "comprimento" de quadrivelocidades (veja abaixo), ou a curvatura de Ricci em um ponto no espaço-tempo da relatividade geral, que é uma contração do tensor de curvatura de Riemann ali.

Escalares simples na relatividade especial

O comprimento de um vetor de posição

Na relatividade especial, a localização de uma partícula no espaço-tempo quadridimensional é dada por

x^{\mu }=(ct,\mathbf {x} )

onde $\mathbf {x} =\mathbf {v} t$ é a posição no espaço tridimensional da partícula, $\mathbf {v}$ é a velocidade no espaço tridimensional e $�$ é a velocidade da luz.

O "comprimento" do vetor é um escalar de Lorentz e é dado por

x_{\mu }x^{\mu }=\eta _{\mu \nu }x^{\mu }x^{\nu }=(ct)^{2}-\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ (c\tau )^{2}

onde $\tau$ é o tempo adequado medido por um relógio no referencial de repouso da partícula e a métrica de Minkowski é dada por

\eta ^{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}.

Esta é uma métrica semelhante ao tempo.

Frequentemente, a assinatura alternativa da métrica de Minkowski, na qual os sinais dos uns são invertidos, é usada.

\eta ^{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}.

Esta é uma métrica semelhante ao espaço.

Na métrica de Minkowski, o intervalo espacial $�$ é definido como

x_{\mu }x^{\mu }=\eta _{\mu \nu }x^{\mu }x^{\nu }=\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} -(ct)^{2}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ s^{2}.

Usamos a métrica de Minkowski semelhante ao espaço no restante deste artigo.

O comprimento de um vetor de velocidade

A velocidade no espaço-tempo é definida como

v^{\mu }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {dx^{\mu } \over d\tau }=\left(c{dt \over d\tau },{dt \over d\tau }{d\mathbf {x}  \over dt}\right)=\left(\gamma c,\gamma {\mathbf {v} }\right)=\gamma \left(c,{\mathbf {v} }\right)

onde

\gamma \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {1 \over {\sqrt {1-{{\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} } \over c^{2}}}}}.

A magnitude da quadrivelocidade é um escalar de Lorentz,

v_{\mu }v^{\mu }=-c^{2}\,.

Portanto, c é um escalar de Lorentz.

O produto interno da aceleração e da velocidade

A quadriaceleração é dada por

a^{\mu }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {dv^{\mu } \over d\tau }.

A quadriaceleração é sempre perpendicular à quadrivelocidade

0={1 \over 2}{d \over d\tau }\left(v_{\mu }v^{\mu }\right)={dv_{\mu } \over d\tau }v^{\mu }=a_{\mu }v^{\mu }.

Portanto, podemos considerar a aceleração no espaço-tempo simplesmente como uma rotação da quadrivelocidade. O produto interno da aceleração e da velocidade é um escalar de Lorentz e é zero. Esta rotação é simplesmente uma expressão de conservação de energia:

{dE \over d\tau }=\mathbf {F} \cdot \mathbf {v}

onde $�$ é a energia de uma partícula e $\mathbf {F}$ é a triforça na partícula.

Energia, massa em repouso, trimomento e trivelocidade a partir do quadrimomento

O quadrimomento de uma partícula é

p^{\mu }=mv^{\mu }=\left(\gamma mc,\gamma m\mathbf {v} \right)=\left(\gamma mc,\mathbf {p} \right)=\left({\frac {E}{c}},\mathbf {p} \right)

onde $�$ é a massa de repouso da partícula, $\mathbf {p}$ é o momento no espaço tridimensional e

E=\gamma mc^{2}

é a energia da partícula.

Medição da energia de uma partícula

p_{\mu }u^{\mu }=-E_{1}

onde o subscrito 1 indica a primeira partícula.

Como a relação é verdadeira no referencial de repouso da segunda partícula, ela é verdadeira em qualquer referencial. $E_{1}$ , a energia da primeira partícula no referencial da segunda partícula, é um escalar de Lorentz. Portanto,

E_{1}=\gamma _{1}\gamma _{2}m_{1}c^{2}-\gamma _{2}\mathbf {p} _{1}\cdot \mathbf {u} _{2}

em qualquer referencial inercial, onde $E_{1}$ ainda é a energia da primeira partícula no referencial da segunda partícula.

Medição da massa de repouso da partícula

No referencial de repouso da partícula, o produto interno do momento é

p_{\mu }p^{\mu }=-(mc)^{2}\,.

Portanto, a massa de repouso ( $m$ ) é um escalar de Lorentz. A relação permanece verdadeira independentemente do referencial no qual o produto interno é calculado. Em muitos casos, a massa de repouso é escrita como $m_{0}$ para evitar confusão com a massa relativística, que é $\gamma m_{0}$ .

Medição do trimomento da partícula

Observe que

\left({\frac {p_{\mu }u^{\mu }}{c}}\right)^{2}+p_{\mu }p^{\mu }={E_{1}^{2} \over c^{2}}-(mc)^{2}=\left(\gamma _{1}^{2}-1\right)(mc)^{2}=\gamma _{1}^{2}{\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v} _{1}}m^{2}=\mathbf {p} _{1}\cdot \mathbf {p} _{1}.

O quadrado da magnitude do trimomento da partícula medido no referencial da segunda partícula é um escalar de Lorentz.

Medição da trivelocidade da partícula

A trivelocidade, no referencial da segunda partícula, pode ser construída a partir de dois escalares de Lorentz

v_{1}^{2}=\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v} _{1}={\frac {\mathbf {p} _{1}\cdot \mathbf {p} _{1}}{E_{1}^{2}}}c^{4}.

Escalares mais complicados

Os escalares também podem ser construídos a partir dos tensores e vetores, da contração de tensores (como

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

////// $F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }$ ) ou combinações de contrações de tensores e vetores (como

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

////// $g_{\mu \nu }x^{\mu }x^{\nu }$ ).

Em física, a ação de Polyakov é a ação bidimensional de uma teoria conforme de campos (CFT en inglés)^[1] descrevendo a variedade^{[nota 1]} bidimensional^[2] que descreve a incorporação de uma corda no espaço-tempo na teoria das cordas. ^[3] ^[4] ^[5]

Esta ação foi introduzida por Stanley Deser e Bruno Zumino ^[6] e, independentemente, por L.Brink, Vecchia P.Di e PSHowe, ^[7] e passou a ser associada com Alexander Polyakov depois que ele fez uso dela na quantificação da corda.^[8]

A ação lê

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

{\mathcal {S}}={T \over 2}\int \mathrm {d} ^{2}\sigma {\sqrt {-h}}h^{ab}g_{\mu \nu }(X)\partial _{a}X^{\mu }(\sigma )\partial _{b}X^{\nu }(\sigma )

onde $�$ é a tensão da corda, $g_{\mu \nu }$ é a métrica da variedade alvo^{[nota 2]}, $h_{ab}$ é a folha de universo métrica e $ℎ$ é o determinante de ${ab}$ . A assinatura métrica é escolhido de tal modo que direções similares ao tempo são + e direções como espaço são -. A coordenada de folha de universo tipo espacial é chamada $\sigma$ ao passo que a coordenada de folha de universo tipo tempo é chamada $\tau$ . Esta variedade é também conhecida como modelo σ não-linear.^[9]

A ação de Polyakov deve ser completada pela ação de Liouville na teoria de campo de Liouville para descrever adequadamente as flutuações de cordas.

Relação com a ação Nambu-Goto

Escrevendo a equação de Euler-Lagrange para o tensor métrico $h^{ab}$ se obtém que:

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

{\frac {\delta S}{\delta h^{ab}}}=T_{ab}=0

Sabendo também que:

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

\delta {\sqrt {-h}}=-{\frac {1}{2}}{\sqrt {-h}}h_{ab}\delta h^{ab}

Pode-se escrever o derivativo variacional da ação:

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

{\frac {\delta S}{\delta h^{ab}}}={\frac {T}{2}}{\sqrt {-h}}\left(G_{ab}-{\frac {1}{2}}h_{ab}h^{cd}G_{cd}\right)

onde $G_{ab}=g_{\mu \nu }\partial _{a}X^{\mu }\partial _{b}X^{\nu }$ o que leva a:

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

T_{ab}=T\left(G_{ab}-{\frac {1}{2}}h_{ab}h^{cd}G_{cd}\right)=0

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

G_{ab}={\frac {1}{2}}h_{ab}h^{cd}G_{cd}

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

G=\mathrm {det} \left(G_{ab}\right)={\frac {1}{4}}h\left(h^{cd}G_{cd}\right)^{2}

Se o tensor métrico auxiliar da folha de universo ${\sqrt {-h}}$ é calculado a partir das equações de movimento:

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

{\sqrt {-h}}={\frac {2{\sqrt {-G}}}{h^{cd}G_{cd}}}

e substituído de volta à ação, ele se torna a ação Nambu-Goto:

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

S={T \over 2}\int \mathrm {d} ^{2}\sigma {\sqrt {-h}}h^{ab}G_{ab}={T \over 2}\int \mathrm {d} ^{2}\sigma {\frac {2{\sqrt {-G}}}{h^{cd}G_{cd}}}h^{ab}G_{ab}=T\int \mathrm {d} ^{2}\sigma {\sqrt {-G}}

No entanto, a ação de Polyakov é mais facilmente quantificada porque é linear.

A ação Nambu-Goto é uma quantidade matemática que pode ser usada para predizer como as cordas se movem através do espaço e do tempo.

Ela é a ação mais simples que descreve uma corda relativistica^[1] Pela aplicação das ideias da mecânica quântica às ações Nambu-Goto (um procedimento conhecido como quantização) pode-se deduzir que cada corda pode vibrar em muitos diferentes modos, e que cada estado vibracional representa uma partícula diferente.^[2] Esta ação é a mais simples invariante ação na teoria das cordas bosônica.^[3] Ela, para uma corda clássica, a qual possui claramente uma interpretação geométrica, a partir desta ação, que se deduz uma ação mais geral, a ação de Polyakov, e pode ser demonstrado que estas duas são classicamente equivalentes. A ação Nambu-Goto também é usada em outras teorias que investigam objetos-cordas (por exemplo, cordas cósmicas)^{[nota 1]}. É o ponto de partida da análise de comportamento zero-espessura (infinitamente fina) das cordas, usando os princípios da mecânica de Lagrange.^[4] Assim como a ação para uma partícula de ponto livre é proporcional ao seu tempo apropriado, ou seja, o "tamanho" de seu mundo-linha, uma relativista ação da corda é proporcional à área da folha que a corda traça, enquanto que viaja através do espaço-tempo.^[5] A ação deve o seu nome aos físicos japoneses Yoichiro Nambu e Goto Tetsuo.^[6]

Definição

A ação Nambu-Goto é uma ação funcional para modelos sigma^[7] com o espaço alvo uma pseudo variedade de Riemann^[8]^[9] $(X,g)(X,g)$ : Isto é o volume induzido funcional

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

$S_{NG}:(\Sigma {\stackrel {\gamma }{\to }}X)\mapsto \int _{\Sigma }dvol(\gamma ^{*}g)\,,$

onde $dvol(\gamma ^{*}g)$ é a forma de volume^[10]^[11] da retração $(\gamma ^{*}g)$ do tensor métrico a partir de $�$ para $\Sigma$ .^[12]

Folha de universo

Assim como um zero-dimensional traça um mundo-linha em um diagrama espaço-tempo, uma corda unidimensional é representada por uma folha de universo.^[13]

Yoichiro Nambu (2008)

Todas as folha de universo são superfícies bidimensionais, e requerem dois parâmetros para especificar um ponto na folha. Os teóricos das cordas usam os símbolos τ e σ para estes parâmetros. Como se vê, as teorias de cordas envolvem superiores espaços dimensionais que o do mundo 3D com o qual estamos familiarizados; teoria das cordas bosônicas requer 25 dimensões espaciais e um eixo de tempo. Se d é o número de dimensões espaciais, podemos representar um ponto pela vector

x=(x^{0},x^{1},x^{2},\ldots ,x^{d}).

Descrevemos uma corda usando funções que mapeiam uma posição no espaço paramétrico (τ, σ) para um ponto no espaço-tempo. Para cada valor de τ e σ, estas funções especificam um único vetor espaço-tempo:

X(\tau ,\sigma )=(X^{0}(\tau ,\sigma ),X^{1}(\tau ,\sigma ),X^{2}(\tau ,\sigma ),\ldots ,X^{d}(\tau ,\sigma )).

As funções $X^{\mu }(\tau ,\sigma )$ determinam a forma que a folha de universo toma. Diferentes Lorentz observadores vão discordar sobre as coordenadas que atribuem a pontos particulares n a folha de universo, mas todos eles devem concordar com a área total que a folha de universo possui. A ação Nambu-Goto é escolhida para ser proporcional a esta área total.

Deixe $g_{\ mu\ nu}$ ser a métrica (d +1)-espaço-tempo dimensional. Então,

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

g_{ab}=g_{\mu \nu }{\frac {\partial X^{\mu }}{\partial \sigma ^{a}}}{\frac {\partial X^{\nu }}{\partial \sigma ^{b}}}\

é a métrica induzida ^{[nota 2]} na a folha de universo da corda.

A área ${\mathcal {A}}$ d a folha de universo é dada por:

\mathrm {d} {\mathcal {A}}=\mathrm {d} ^{2}\Sigma {\sqrt {-g}}

onde $\mathrm {d} ^{2}\Sigma =\mathrm {d} \sigma \,\mathrm {d} \tau$ e $g=\mathrm {det} \left(g_{ab}\right)\$

Usando a notação que:

{\dot {X}}={\frac {\partial X}{\partial \tau }}

X'={\frac {\partial X}{\partial \sigma }},

pode-se reescrever a métrica $g_{ab}$ :

g_{ab}=\left({\begin{array}{cc}{\dot {X}}^{2}&{\dot {X}}\cdot X'\\X'\cdot {\dot {X}}&X'^{2}\end{array}}\right)\

g={\dot {X}}^{2}X'^{2}-({\dot {X}}\cdot X')^{2}

a ação Nambu-Goto é definida como,

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

{\mathcal {S}}\

=-{\frac {T_{0}}{c}}\int d{\mathcal {A}}

=-{\frac {T_{0}}{c}}\int \mathrm {d} ^{2}\Sigma {\sqrt {-g}}

=-{\frac {T_{0}}{c}}\int \mathrm {d} ^{2}\Sigma {\sqrt {({\dot {X}}\cdot X')^{2}-({\dot {X}})^{2}(X')^{2}}}.\

Os fatores antes da integral dá a ação as unidades corretas, energia multiplicada pelo tempo. T₀ é a tensão na corda, e c é a velocidade da luz. Normalmente, os teóricos das cordas trabalho em "unidades naturais", onde c é definida como 1 (juntamente com $\hbar$ constante de Planck e constante G de Newton). Também, em parte por razões históricas, eles usam o "parâmetro de declive" $\alpha '$ em vez de T₀. Com estas mudanças, a ação Nambu-Goto torna-se

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

{\mathcal {S}}=-{\frac {1}{2\pi \alpha '}}\int \mathrm {d} ^{2}\Sigma {\sqrt {({\dot {X}}\cdot X')^{2}-({\dot {X}})^{2}(X')^{2}}}.

Estas duas formas são, naturalmente, inteiramente equivalentes: escolher uma sobre a outra é uma questão de convenção e conveniência.

Duas outras formas equivalentes são

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

{\mathcal {S}}=-{\frac {1}{2\pi \alpha '}}\int \mathrm {d} ^{2}\Sigma {\sqrt {{\dot {X}}^{2}-{X'}^{2}}},

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

{\mathcal {S}}=-{\frac {1}{4\pi \alpha '}}\int \mathrm {d} ^{2}\Sigma ({\dot {X}}^{2}-{X'}^{2}).

Normalmente, a ação Nambu-Goto não descreve a correta física quântica da corda. Para isso, deve ser modificada de uma forma semelhante como a ação de uma partícula ponto. Ela é classicamente igual a menos massa vezes o comprimento invariante no espaço-tempo, mas deve ser substituído por uma expressão quadrática com o mesmo valor clássica. Só então que a física quântica correta é obtida.^[14] Para cordas, a correção analógico é fornecida pela ação Polyakov, que é classicamente equivalente à ação Nambu-Goto, mas dá a teoria quântica correta. É, no entanto, possível desenvolver uma teoria quântica da ação Nambu-Goto no Medidor de cone-de-luz.

Em geometria diferencial, tensor de curvatura é uma das noções métricas mais importantes. Um tensor de curvatura é uma generalização da curvatura de Gauss em dimensões mais altas (dois exemplos disto são o tensor de Riemann que se desenvolve neste artigo e o tensor de Ricci).

A geometria infinitesimal das variedades de Riemann com dimensão ≥ 3 é demasiado complicada para ser descrita totalmente por um número em um ponto dado (tal como sucede quando a dimensão é menor ou igual a 2). Assim em 2 dimensões a curvatura pode ser representada por um número escalar (ou tensor de ordem zero), em 3 dimensões a curvatura pode ser representada por um tensor de segunda ordem (como por exemplo o tensor de Ricci). Entretanto para dimensões totalmente gerais se necessita ao menos um tensor de quarta ordem (como o tensor de Riemann). Foi Riemann quem introduziu uma maneira de descrever completamente a curvatura em qualquer número de dimensões mediante um "pequeno monstro" de tensor, chamado tensor de Riemann.

Descrição

Definição geral

Seja $�$ uma variedade diferenciável dotada de uma conexão $\nabla$ , definida em um ponto $�$ da variedade. O tensor de Riemann é o campo tensorial $�$ de tipo (1,3) que satisfaz a igualdade

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

$R(X,Y)Z=\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X,Y]}Z$ ,

em que $�, �, �$ são campos vetoriais em $M_{p}$ , sendo $[X,Y]$ o colchete de Lie dos campos vetoriais. $R(X,Y)Z$ é linear em $�, �, �$ , de modo que o valor de $R(X,Y)Z$ em $�$ só depende dos valores de $�, �$ e $�$ em $�$ .^[1] É importante destacar que o tensor de Riemann é algumas vezes representado pelo sinal oposto.

O teorema de Schwarz afirma que no espaço euclidiano as derivadas parciais comutam: este fato não é verdade em uma variedade com conexão arbitrária, e o tensor de Riemann leva isso em consideração. Então, é possível interpretar o tensor de curvatura de Riemann como o modo de medir o quanto a variedade $�$ difere de um espaço euclidiano, ou de um espaço de Minkowski no contexto da relatividade. Logo, um espaço é dito plano quando o tensor de Riemann é zero.

Considerando um sistema de coordenadas $\{x^{i}\}$ , em que $X=\partial /\partial x^{i}$ e $Y=\partial /\partial x^{j}$ . Então, $[X,Y]=0$ e portanto a fórmula simplifica como

R(X,Y)Z=\nabla _{X}\nabla _{X}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z

ou seja, neste caso o tensor de curvatura mede a não-comutatividade da derivada covariante.^[2]

Expressão em coordenadas

Considerando a base coordenada $\{\mathbf {e} _{\mu }\}$ e sua correspondente dual $\{\mathrm {d} x^{\kappa }\}$ , o tensor de Riemann pode ser expresso como

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

{R^{\kappa }}_{\lambda \mu \nu }=\left\langle \mathrm {d} x^{\kappa },R\left(\mathbf {e} _{\mu },\mathbf {e} _{v}\right)\mathbf {e} _{\lambda }\right\rangle =\left\langle \mathrm {d} x^{\kappa },\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }\mathbf {e} _{\lambda }-\nabla _{\nu }\nabla _{\mu }\mathbf {e} _{\lambda }\right\rangle

em que $\langle .,.\rangle$ representa o produto interno.

Deste modo, a expressão pode ser representada em termos de coordenadas usando os símbolos de Christoffel. Valendo-se da convenção do somatório de Einstein, pode-se representá-lo como

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

{R^{\kappa }}_{\lambda \mu \nu }={\partial _{\mu }{\Gamma ^{\kappa }}_{\nu \lambda }}-{\partial _{\nu }{\Gamma ^{\kappa }}_{\mu \lambda }}+{\Gamma ^{\eta }}_{\nu \lambda }{\Gamma ^{\kappa }}_{\mu \eta }-{\Gamma ^{\eta }}_{\mu \lambda }{\Gamma ^{\kappa }}_{\nu \eta }

sendo $\nabla _{v}\mathbf {e} _{\lambda }={\Gamma ^{\eta }}_{\nu \lambda }\mathbf {e} _{\eta }$ .^[3]

Comutadores e índices

Dado um quadrivetor genérico $�$ , o tensor de Riemann surge da comutação da derivada covariante segunda desse quadrivetor, ou seja,^[4]

[\nabla _{\mu },\nabla _{\nu }]A^{\rho }=\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }A^{\rho }-\nabla _{\nu }\nabla _{\mu }A^{\rho }={R^{\rho }}_{\sigma \mu \nu }A^{\sigma }-{T^{\lambda }}_{\mu \nu }\nabla _{\lambda }A^{\rho }

no qual ${T^{\lambda }}_{\mu \nu }$ é o tensor de torção.

Considerando o caso em que não há torção, isto é,

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

[\nabla _{\mu },\nabla _{\nu }]A^{\rho }={R^{\rho }}_{\sigma \mu \nu }A^{\sigma }

o tensor de Riemann expressa a diferença medida da curvatura da variedade $�$ quando o vetor $�$ é transportado do ponto $�$ para um ponto $�$ , primeiramente ao longo de uma congruência, e depois seguindo outra congruência, ou vice-versa.^[5]

Versão covariante

O tensor métrico covariante $g_{\rho \zeta }$ pode se usado para abaixar um índice do tensor de Riemann, assim como o tensor contravariante $g^{\rho \zeta }$ pode levantar um índice. Assim, a versão completamente covariante do tensor de curvatura do tipo (0,4) é dada por

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

R_{\rho \sigma \mu \nu }=g_{\rho \zeta }{R^{\zeta }}_{\sigma \mu \nu }.

Propriedades

Simetrias algébricas

O tensor de Riemann é antissimétrico nos dois últimos índices, ou seja,

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

{R^{\rho }}_{\sigma \mu \nu }=-{R^{\rho }}_{\sigma \nu \mu }

R_{\rho \sigma \mu \nu }=-R_{\rho \sigma \nu \mu }

Na sua forma completamente covariante, o tensor de Riemann é antissimétrico em relação à troca dos dois primeiros índices, isto é,

R_{\rho \sigma \mu \nu }=-R_{\sigma \rho \mu \nu }

e é simétrico em relação à troca do primeiro par de índices com o segundo:

R_{\rho \sigma \mu \nu }=R_{\mu \nu \rho \sigma }

Primeira identidade de Bianchi

Na ausência de torção, temos:

R_{\rho \sigma \mu \nu }+R_{\rho \nu \sigma \mu }+R_{\rho \mu \nu \sigma }=0

Esta relação também pode ser escrita mais como

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

R_{\rho [\sigma \mu \nu ]}=0

em que $[\sigma \mu \nu ]$ indica uma antissimetrização nos índices. Assim, deve-se efetuar uma soma sobre todas as permutações dos três últimos índices, com um sinal correspondente à paridade da permutação. Resultando em 6 termos, mas que podem ser acoplados em virtude das propriedades algébricas descritas acima.

Componentes independentes

Embora o tensor de Riemann tenha $n^{4}$ componentes, em que $�$ é a dimensão da variedade sobre qual o tensor é definido, as relações descritas anteriormente reduzem este número a ${\frac {1}{12}}n^{2}(n^{2}-1)$ componentes independentes. Para duas, três e quatro dimensões, o número de componentes independentes é respectivamente 1, 6 e 20.^[6]

Segunda identidade de Bianchi

A segunda identidade de Bianchi é parecida com a primeira, mas leva em consideração a derivada covariante do tensor de Riemann. Na ausência de torção, a identidade possui a seguinte forma:

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

\nabla _{\lambda }R_{\rho \sigma \mu \nu }+\nabla _{\rho }R_{\sigma \lambda \mu \nu }+\nabla _{\sigma }R_{\lambda \rho \mu \nu }=0

Essa igualdade pode ser escrita de forma mais concisa como^[4]

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

\nabla _{[\lambda }R_{\rho \sigma ]\mu \nu }=0

Tensor de curvatura de Ricci

O tensor de curvatura de Ricci é a contração do primeiro e terceiro índice do tensor de Riemann.

$equação Graceli dimensional relativista tensorial quântica de campos$

$[$ $\psi ^{*}$ $\psi ^{*}$ $G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ $.$ = $\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle$ /

$G_{\mu \nu }\$ $T_{\mu \nu }$ G $T^{\nu }{}_{\alpha }$

$\psi ^{*}$

//////

\underbrace {\operatorname {R} _{ab}} _{\text{Ricci}}\equiv \underbrace {\operatorname {R} ^{c}{}_{acb}} _{\text{Riemann}}=g^{cd}\underbrace {\operatorname {R} _{cadb}} _{\text{Riemann}}

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Primeira identidade de Bianchi

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Segunda identidade de Bianchi

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